Математический анализ – подготовка к экзаменам и зачётам

В ВУЗах изучается «Высшая математика», которая имеет много разделов, большинство из который даются как отдельные дисциплины, в зависимости от специализации учебного заведения, и имеют прикладное значение.

Математический анализ изучает те разделы, которые являются основой для изучения остальных – прикладных. Основные разделы математического анализа:

• Теория пределов.
• Функции одной переменной.
• Функции нескольких переменных.
• Неопределённый интеграл.
• Определённый интеграл.
• Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.
• Ряды.
• Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Теория пределов

Теория пределов не представляет особых трудностей для понимания. Фактически она даёт правила для нахождения конкретного числа (предела) числового ряда, если это число существует.

Здесь важно понять смысл, что такое предел варианты (по определению), бесконечно малые и бесконечно большие величины, наибольший и наименьший переделы. Для практического нахождения пределов нужно знать теоремы о пределах, теорему Штольца, конкретные пределы основных рядов.

Функции одной переменной

Раздел «Функции одной переменной» содержит много фундаментальных положений, которые являются основами математического анализа. Основные понятия: предел функции, непрерывность функции, производная функции, дифференциал функции – необходимо усвоить до конца, а не только по определению.

Материал этого раздела имеет большое практическое значение. Изучается класс основных функций. Исследуется поведение функций, и строятся их графики. Здесь необходимо уметь находить переделы, производные функций, знать формулы Лейбница и Тейлора, применение этих формул к конкретным функциям.

Важным является применение теории этого раздела к геометрии и к приближённому решению уравнений.

Функции нескольких переменных

Материал раздела «Функции нескольких переменных» сложнее для понимания по сравнению с предыдущим разделом.

Для объяснения области определения функции и поведения самой функции приходится прибегать к геометрической интерпретации. Даже для функции двух переменных не всегда возможно изобразить функцию в Декартовой системе координат. Вводятся непростые понятия: частная производная, полный дифференциал, касательная плоскость. Для n≥3 необходимо введение понятия «арифметическое n-мерное пространство», где используются элементы теории множеств.

Усложняется нахождение производных, дифференциалов высших порядков, экстремумов, а также наибольших и наименьших значений функции.

Неопределённый интеграл

В разделе «Неопределённый интеграл» нет никакой сложной теории и сложных понятий. С практической точки зрения, этот раздел очень важен. Необходимо полностью овладеть техникой нахождения первообразной функции. По сравнению с техникой нахождения производной функции, обратная операция намного сложнее.

Во-первых, нужно овладеть основными приёмами интегрирования: замена переменной, подведение под знак дифференциала, интегрирование по частям, возвращение к исходному интегралу, рекуррентные формулы.

Во-вторых, необходимо знать основные интегралы разных классов функций: рациональных дробных, иррациональных, тригонометрических; специальных функций определённого вида.

В-третьих, для определённого вида функций необходимо знать конкретные виды подстановок.

Некоторую трудность представляют собой эллиптические интегралы, нахождение которых требует применения различных подстановок и громоздких алгебраических преобразований.

Определённый интеграл

Раздел «Определённый интеграл» для изучения намного проще, чем предыдущий раздел, так как, если известен неопределённый интеграл, то вычислить определённый интеграл не трудно. Здесь важно понять главное различие: в общем случае неопределённый интеграл – это функция, а определённый интеграл – это число, вычисленное по формуле Ньютона-Лейбница.

Для нахождения определённого интеграла нужно просто дополнительно знать правило замены переменной в определённом интеграле и замены переменной при интегрировании по частям.

Если невозможно найти первообразную при вычислении определённого интеграла, то надо уметь приближённо его находить способом прямоугольников и способом трапеций.

Некоторую трудность представляет нахождение несобственных интегралов. Здесь надо умело пользоваться теорией пределов и признаками сравнения.

С практической точки зрения, основное в этом разделе – это применение определённого интеграла в других дисциплинах – геометрии и физике – при вычислении длин, площадей, объёмов разных геометрических фигур и тел; статические моменты, моменты инерции, координаты центра тяжести, вычисление работы и давления.

При нахождении конкретной величины нужно правильно выбирать систему координат (Декартову, полярную, цилиндрическую, сферическую) и внимательно расставлять пределы интегрирования.

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

В данной разделе сложностей теоретического характера нет. Все определения и понятия имеют аналогию с определённым интегралом функции одной переменной, только дифференциал независимой переменной заменяют дифференциалом дуги, площади или объёма. Некоторые трудности могут возникать при практическом вычислении интегралов.

Для двойного интеграла надо уметь:

1. При необходимости разбивать область интегрирования на простые области.
2. Переходить от двойного к обычному интегралу.
3. Правильно расставлять пределы интегрирования.
4. При переходе к криволинейным координатам (другой системе координат) находить якобиан преобразования и новые пределы интегрирования.
5. Находить площади плоских и криволинейных поверхностей, ограниченных кривыми; объёмы фигур, ограниченных поверхностями.
6. Применять двойной интеграл в других дисциплинах.

Для тройного интеграла надо уметь:

1. Выполнять пункты 1, 2, 3 и 4 аналогично, как для двойного интеграла.
2. Находить объёмы тел, ограниченных поверхностью или поверхностями.
3. Применять тройной интеграл в других дисциплинах.

Для криволинейного интеграла надо уметь:

1. Вычислять интеграл при различных видах уравнения задания кривой.
2. Вычислять интеграл по координатам.
3. Вычислять интеграл, применяя формулу Грина.
4. Применять криволинейный интеграл в других дисциплинах.

Для поверхностного интеграла надо уметь:

1. При необходимости разбивать поверхность на области, однозначно проектируемые на координатную плоскость.
2. Вычислять интеграл по координатам, обращая внимание на выбор направления нормали к поверхности.

Ряды

В разделе «Ряды» можно выделить два основных подраздела: Числовые ряды и Функциональные ряды.

Числовые ряды для изучения не представляют особой трудности. Здесь важно знать основные примеры числовых рядов, нахождение суммы рядов с помощью теории пределов, знать признаки сходимости рядов (сравнения, Каши и Даламбера, интегральный признак и другие). Особенно важны понятия: абсолютная сходимость; теорема Лейбница.

Подраздел «Функциональные ряды» намного сложнее предыдущего. Важно понять, что такое равномерная и неравномерная сходимость ряда; уметь правильно применять признаки Вейерштрасса, Абеля, Дирихле; находить области сходимости.

Особое место занимает изучение степенных рядов, теорема Абеля, интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Надо знать, как разложить в ряд Тейлора основные функции: показательную, тригонометрическую, логарифмическую, биномиальную. Необходимо знать и уметь применять формулы Тейлора для функции двух независимых переменных.

Для периодических функций необходимо уметь разлагать функцию в ряд Фурье, применять теорему Дирихле, находить коэффициенты разложения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Раздел «Обыкновенные дифференциальные уравнения» с практической точки зрения имеет очень важное значение, так как дифференциальные уравнения применяются во всех технических дисциплинах. Этот раздел не имеет особых сложностей теоретического характера для понимания. Трудность заключается в том, что не для всякого из практики составленного дифференциального уравнения можно найти решение.

Поэтому изучаются различные классы дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, которые можно применить в практической деятельности:

1. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Основных видов здесь семь. При решении трудность может представлять: неоднородные уравнения (метод Лагранжа); уравнения Бернулли (нужно знать подстановку); уравнения в полных дифференциалах (при необходимости применить интегрирующий множитель).

2. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Здесь надо знать только формулы замены исходной функции для понижения порядка дифференциального уравнения и использовать частное решение дифференциального уравнения.

3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

В этом случае необходимо знать структуру общего решения дифференциального уравнения (проверить по определителю Вронского), и применить формулу Лиувилля-Остроградского.

4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Трудностей при решении как однородного, так и неоднородного дифференциального уравнения нет. Надо уметь определять структуру общего решения по корням характеристического уравнения и применять метод неопределённых коэффициентов. Если вид функции в правой части уравнения не подходит для этого метода, то необходимо использовать метод вариации произвольных постоянных, а произвольные постоянные определить из краевых условий.

5. Системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

При решении нормальной системы дифференциальных уравнений особых сложностей нет. Надо знать только метод исключения и метод интегрируемых комбинаций. Если система линейная с постоянными коэффициентами, то решение находится с помощью матриц.